光滑核函数
光滑核函数 (Kernel Function) 是 SPH 方法中最重要的概念之一，它用于描述粒子之间的相互作用。光滑核函数用以近似描述狄拉克函数 (Dirac Delta Function)，以实现“光滑”的空间作用。
光滑核函数一般是钟形函数，满足以下条件：
- 正则化 (正则化) 条件: 核函数在整个定义域内的积分或求和等于1。
\( \int W(\mathbf{r},h) d\mathbf{r} = 1 \)。
- 当光滑长度趋于0时，具有狄拉克函数性质: \( \lim_{h\to 0} W(\mathbf{r},h) = \delta(\mathbf{r}) \)。
- 具有紧支性: \( W(\mathbf{r},h) = 0, \forall \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3, |\mathbf{r}| > h \)。
- 存在适当的有效半径：核函数的地方性应该保证大部分权重在有效半径范围内，并在该范围外快速衰减。
- 光滑性：核函数应是连续的、低次可微的，以便进行粒子间的插值或平滑操作，即具有连续的一阶和二阶导数。
- 对称性：核函数应具有 radial symmetry 对称性或者近似对称性，以适应各向同性的物理问题。
- 非负性：核函数在定义域内应为非负值，以确保物理上的缩放和加和性质。
- 奇异性：光滑核函数通常要求在 \( \mathbf{r}=0 \) 处具有零导数。